Nakon što je Albert Ajnštajn 1905. godine objavio svoju specijalnu teoriju relativnosti, proveo je narednu deceniju pokušavajući da razvije teoriju gravitacije. Ali godinama je nailazio na problem.
Želeo je da pokaže da je gravitacija zapravo izobličenje geometrije prostor-vremena uzrokovano prisustvom materije. Ali takođe je znao da su vreme i udaljenost relativni na kontraintuitivan način: oni se menjaju u zavisnosti od referentnog okvira.
Kretanje velikom brzinom čini da se udaljenosti skraćuju, a vreme usporava. Kako onda opisati gravitaciju objektivno, bez obzira na to da li ste u stanju mirovanja ili se krećete?
Ajnštajn je rešenje pronašao u novoj geometrijskoj teoriji
Albert Ajnštajn je rešenje pronašao u novoj geometrijskoj teoriji koju su nekoliko godina ranije objavili italijanski matematičari Gregorio Riči-Kurbastro i Tulio Levi-Ćivita. U toj teoriji nalazila se matematička osnova za ono što će kasnije biti nazvano „tenzorom“.
Od tada, tenzori su postali ključni ne samo u Ajnštajnovoj opštoj teoriji relativnosti, već i u mašinskom učenju, kvantnoj mehanici, pa čak i u biologiji. „Tenzori su najefikasniji uređaj za pakovanje koji imamo za organizovanje naših jednačina,“ rekao je Dionisios Aninos, teoretski fizičar na Kings Koledžu u Londonu. „Oni su prirodni jezik za geometrijske objekte.“
Tenzor je niz brojeva koji čuva važne podatke
Takođe, teško ih je definisati. Razgovarajte sa informatičarem, i on će vam možda reći da je tenzor niz brojeva koji čuva važne podatke. Jedan broj je „tenzor ranga 0“. Lista brojeva, koja se naziva vektor, je tenzor ranga 1. Mreža brojeva, ili matrica, je tenzor ranga 2. I tako dalje.
Ali razgovarajte sa fizičarem ili matematičarem, i oni će smatrati da je ova definicija nedovoljna. Za njih, iako se tenzori mogu predstaviti ovim nizovima brojeva, oni imaju dublje geometrijsko značenje.
Da biste razumeli geometrijski pojam tenzora, počnite sa vektorima. Vektor možete zamisliti kao strelicu koja lebdi u prostoru — ima dužinu i pravac. (Ova strelica ne mora biti vezana za određenu tačku: ako je pomerite u prostoru, ona ostaje isti vektor.) Vektor može predstavljati brzinu čestice, na primer, pri čemu dužina označava njenu brzinu, a pravac njenu orijentaciju.
Ove informacije se pakuju u listu brojeva. Na primer, vektor u dvodimenzionalnom prostoru definiše se parom brojeva. Prvi vam govori koliko se strelica proteže levo ili desno, a drugi koliko se proteže gore ili dole.
Ali ovi brojevi zavise od toga kako ste definisali svoj koordinatni sistem. Recimo da promenite svoj koordinatni sistem:
Sada izrazite vektor u smislu koliko se proteže u svakom pravcu novog koordinatnog sistema. To vam daje drugačiji par brojeva. Ali sam vektor se nije promenio: njegova dužina i orijentacija ostaju iste, bez obzira u kom koordinatnom sistemu se nalazite. Štaviše, ako znate kako da pređete iz jednog koordinatnog sistema u drugi, automatski ćete znati i kako vaša lista brojeva treba da se promeni.
Tenzori generalizuju ove ideje. Vektor je tenzor ranga 1; tenzori višeg ranga sadrže složenije geometrijske informacije.
Na primer, zamislite da imate blok čelika i želite da opišete sve sile koje mogu delovati na njega. Tenzor ranga 2 — zapisan kao matrica — može to da uradi. Svaka od površina bloka oseća sile u tri različita pravca. (Na primer, desna strana bloka može osećati sile u pravcu gore-dole, levo-desno, i napred-nazad.)
Tenzor koji obuhvata sve te sile može se zato predstaviti matricom od devet brojeva — jednim brojem za svaki pravac za svaku od tri strane. (Suprotne strane, u ovom primeru, smatraju se redundantnim.)
Matematičari često zamišljaju tenzore kao funkcije koje uzimaju jedan ili više vektora kao ulaze i proizvode drugi vektor, ili broj, kao izlaz. Ovaj izlaz ne zavisi od izbora koordinatnog sistema. (Ovo ograničenje je ono što čini tenzore različitim od funkcija uopšte.)
Šta su Ajnštajnu omogućili tenzori?
Tenzor može, na primer, uzeti dva vektora koji formiraju ivice pravougaonika i izračunati površinu pravougaonika. Ako rotirate pravougaonik, njegova dužina duž iks-ose i visina duž ipsilon-ose će se promeniti. Ali njegova površina neće.
U Ajnštajnovoj teoriji relativnosti, udaljenost i vreme — za koje se nekada mislilo da su apsolutni — ispostavljaju se da se menjaju za različite posmatrače. Ali baš kao što se dužina i visina mogu kombinovati za izračunavanje površine, udaljenost i vreme se mogu kombinovati za definisanje drugih fiksnih svojstava, ili invarijanata.
Od 1915. tenzori su svuda prisutni
Tenzori su omogućili Ajnštajnu da efikasno manipuliše ovim invarijantama, i da opiše odnos između mase i prostor-vremena. Mogao je da napiše jednu jednačinu koja opisuje kako materija zakrivljuje prostor-vreme, kondenzujući ono što bi inače bile 16 odvojenih, međusobno povezanih jednačina.
Od objavljivanja ove jednačine 1915. godine, tenzori su postali svuda prisutni. Fizičari ih koriste za karakterizaciju kretanja elektrona oko atomskih jezgara, ili za opisivanje stanja upletenog kvantnog sistema. Informatičari ih koriste za čuvanje parametara modela mašinskog učenja.
Biolozi ih koriste za praćenje osobina kroz generacije. A matematičari ih množe zajedno da bi izgradili još složenije tenzore, a zatim proučavaju nove prostore u kojima ti tenzori „žive“.
Tenzori mogu pomoći matematičarima da istraže složene simetrije, analiziraju svojstva posebnih oblika zvanih mnogostrukosti i istražuju odnose između različitih funkcija, među ostalim stvarima.
Ajnštajn je jednom molio prijatelja da mu pomogne da razume tenzore, bojeći se da će poludeti. Ali razumeo ih je — i oni su od tada ključni za sposobnost naučnika da opišu naš svet.
