Драган Максимовић је рођен 7. фебруара у Подујеву.
Глумачку каријеру је започео почетком седамдесетих година у Народном позоришту. Дебитовао је улогом војника у представи „Мајка Храброст и њена деца“.
Током три деценије, на сцени матичног театра остварио је веома запажене роле у представама „Сарајевски атентат“ (Недељко Чабриновић), „Мандрагола“ (Фра Тимотео), „Британик“ (Нерон), „Лењин, Стаљин, Троцки“ (Генрих Григоријевич Јагода), „Косовска хроника“ (Авдула), „Рибарске свађе“ (Бепо), „Последња потера за златом“ (Цагер), „Крај партије“ (Хам), „Месец дана на селу“ (Игњатије Илич Спигељски), „Суђење госпођи Бовари“ (Сенар), „Дуго путовање у ноћ“ (Едмунд Тајрон), „Максим Црнојевић“ (Дужде од Млетака)…
Члан ансамбла Народног позоришта остао је до краја живота.
Остварио је више од 60 улога у позоришту, на филму и телевизији.
Остао је упамћен по улогама у култним филмовима -„Лепа села лепо горе“, „Петријин венац“, „Ми нисмо анђели“, „Стршљен“, „Црни бомбардер“, „Време чуда“, „Последњи круг у Монци“…
За улогу професора Петра у филму „Лепа села лепо горе“, редитељ Срђан Драгојевић говорио је да је то једна од Максимовићевих најбољих и најдубљих улога кроз коју је показао свој раскошни таленат.
Последњу улогу одиграо је у филму „Држава мртвих“, Живојина Паловића, али премијеру није доживео.
Улоге је остварило и у филмовима стране продукције – шпански „Хемингвеј – забава и смрт“ грчки „Одисејев поглед“ и најпознатији „Сусрети са изузетним људима“, из 1979. године, који је режирао чувени редитељ Питер Брук.
Играо је у телевизијским серијама „Отписани“, „Дувански пут“, „Приче из мајсторске радионице“, „Четрдесет осма – Завера и издаја“, „Отворена врата“, „Горе доле“…
Више од две деценије од трагичне смрти
Првак драме Народног позоришта, у ноћи између 17. на 18. новембар 2000. године, брутално је претучен од стране насилника, навијача фудбалског клуба Рад, испред кафане на Зеленом венцу. Претпоставља се да су нападачи били неонацистички оријентисани скинхеди. Због његове тамније пути мислили су да је Ром.
После два и по месеца, 4. фебруара 2001. године, а три дана пре 52. рођендан, Максимовић је у болници подлегао повредама.
За овај злочин нико није одговарао. Говорило се да је Максимовић захтевао да се починиоци не гоне кривично.
На месту његове смрти на Зеленом венцу, на инцијативу редитеља Горана Марковића, 2006. године постављена је спомен-плоча. Сваке године на овом месту цвеће и венце полажу његове колеге из Народног позоришта, али и други поштоваоци Максимовићеве уметности.
