Након што је Алберт Ајнштајн 1905. године објавио своју специјалну теорију релативности, провео је наредну деценију покушавајући да развије теорију гравитације. Али годинама је наилазио на проблем.
Желео је да покаже да је гравитација заправо изобличење геометрије простор-времена узроковано присуством материје. Али такође је знао да су време и удаљеност релативни на контраинтуитиван начин: они се мењају у зависности од референтног оквира.
Кретање великом брзином чини да се удаљености скраћују, а време успорава. Како онда описати гравитацију објективно, без обзира на то да ли сте у стању мировања или се крећете?
Ајнштајн је решење пронашао у новој геометријској теорији
Алберт Ајнштајн је решење пронашао у новој геометријској теорији коју су неколико година раније објавили италијански математичари Грегорио Ричи-Курбастро и Тулио Леви-Ћивита. У тој теорији налазила се математичка основа за оно што ће касније бити названо „тензором“.
Од тада, тензори су постали кључни не само у Ајнштајновој општој теорији релативности, већ и у машинском учењу, квантној механици, па чак и у биологији. „Тензори су најефикаснији уређај за паковање који имамо за организовање наших једначина,“ рекао је Дионисиос Анинос, теоретски физичар на Кингс Колеџу у Лондону. „Они су природни језик за геометријске објекте.“
Тензор је низ бројева који чува важне податке
Такође, тешко их је дефинисати. Разговарајте са информатичарем, и он ће вам можда рећи да је тензор низ бројева који чува важне податке. Један број је „тензор ранга 0“. Листа бројева, која се назива вектор, је тензор ранга 1. Мрежа бројева, или матрица, је тензор ранга 2. И тако даље.
Али разговарајте са физичарем или математичарем, и они ће сматрати да је ова дефиниција недовољна. За њих, иако се тензори могу представити овим низовима бројева, они имају дубље геометријско значење.
Да бисте разумели геометријски појам тензора, почните са векторима. Вектор можете замислити као стрелицу која лебди у простору — има дужину и правац. (Ова стрелица не мора бити везана за одређену тачку: ако је померите у простору, она остаје исти вектор.) Вектор може представљати брзину честице, на пример, при чему дужина означава њену брзину, а правац њену оријентацију.
Ове информације се пакују у листу бројева. На пример, вектор у дводимензионалном простору дефинише се паром бројева. Први вам говори колико се стрелица протеже лево или десно, а други колико се протеже горе или доле.
Али ови бројеви зависе од тога како сте дефинисали свој координатни систем. Рецимо да промените свој координатни систем:
Сада изразите вектор у смислу колико се протеже у сваком правцу новог координатног система. То вам даје другачији пар бројева. Али сам вектор се није променио: његова дужина и оријентација остају исте, без обзира у ком координатном систему се налазите. Штавише, ако знате како да пређете из једног координатног система у други, аутоматски ћете знати и како ваша листа бројева треба да се промени.
Тензори генерализују ове идеје. Вектор је тензор ранга 1; тензори вишег ранга садрже сложеније геометријске информације.
На пример, замислите да имате блок челика и желите да опишете све силе које могу деловати на њега. Тензор ранга 2 — записан као матрица — може то да уради. Свака од површина блока осећа силе у три различита правца. (На пример, десна страна блока може осећати силе у правцу горе-доле, лево-десно, и напред-назад.)
Тензор који обухвата све те силе може се зато представити матрицом од девет бројева — једним бројем за сваки правац за сваку од три стране. (Супротне стране, у овом примеру, сматрају се редундантним.)
Математичари често замишљају тензоре као функције које узимају један или више вектора као улазе и производе други вектор, или број, као излаз. Овај излаз не зависи од избора координатног система. (Ово ограничење је оно што чини тензоре различитим од функција уопште.)
Шта су Ајнштајну омогућили тензори?
Тензор може, на пример, узети два вектора који формирају ивице правоугаоника и израчунати површину правоугаоника. Ако ротирате правоугаоник, његова дужина дуж икс-oсe и висина дуж ипсилон-oсе ће се променити. Али његова површина неће.
У Ајнштајновој теорији релативности, удаљеност и време — за које се некада мислило да су апсолутни — испостављају се да се мењају за различите посматраче. Али баш као што се дужина и висина могу комбиновати за израчунавање површине, удаљеност и време се могу комбиновати за дефинисање других фиксних својстава, или инваријаната.
Од 1915. тензори су свуда присутни
Тензори су омогућили Ајнштајну да ефикасно манипулише овим инваријантама, и да опише однос између масе и простор-времена. Могао је да напише једну једначину која описује како материја закривљује простор-време, кондензујући оно што би иначе биле 16 одвојених, међусобно повезаних једначина.
Од објављивања ове једначине 1915. године, тензори су постали свуда присутни. Физичари их користе за карактеризацију кретања електрона око атомских језгара, или за описивање стања уплетеног квантног система. Информатичари их користе за чување параметара модела машинског учења.
Биолози их користе за праћење особина кроз генерације. А математичари их множе заједно да би изградили још сложеније тензоре, а затим проучавају нове просторе у којима ти тензори „живе“.
Тензори могу помоћи математичарима да истраже сложене симетрије, анализирају својства посебних облика званих многострукости и истражују односе између различитих функција, међу осталим стварима.
Ајнштајн је једном молио пријатеља да му помогне да разуме тензоре, бојећи се да ће полудети. Али разумео их је — и они су од тада кључни за способност научника да опишу наш свет.
